Vorrei cominciare secondo la migliore tradizione della matematica e quindi con una definizione: che cos’è la logica? Il temine deriva dal greco “logos” che significa sia “parola” che “ragione”. E in effetti, quando pensiamo, ragioniamo dentro di noi per poi esprimerci attraverso la lingua. Come potremmo infatti capire che cosa pensa una persona se questa non parla, non si esprime, non comunica? Ma prima si parla e poi si riflette sulla lingua (grammatica); allo stesso modo prima si ragiona e poi si riflette sui ragionamenti (logica). La logica potrebbe essere considerata come la scienza del ragionamento corretto. Il ragionamento matematico è stato considerato da sempre, fin dai tempi di Pitagora come la forma più completa di ragionamento. Le tre vie della logica sono: la dialettica, i paradossi e le dimostrazioni. Quest’ultima è quella che interessa maggiormente il ragionamento matematico. Allora come si fa a decidere di fronte ad un’intuizione, a quello che ci appare vero, se questa cosa è realmente vera oppure no? Bisogna dimostrare.
Oggi per noi la cosa è lapalissiana, cioè è evidente che per avere un teorema matematico abbiamo bisogno di una dimostrazione. Tuttavia non è stato sempre così ovvio e i greci inventarono questo nuovo modo di fare matematica. Pitagora è il punto di partenza della filosofia occidentale, della scienza occidentale ed anche della matematica occidentale. Il famoso teorema di Pitagora che tutti conosciamo è un qualcosa che tante civiltà avevano intuito, come i babilonesi, gli egiziani, i cinesi, gli indiani, ma una cosa è intuire, un’altra invece è dimostrare. Ed ecco che si ha la necessità di analizzare queste dimostrazioni, cercare di capire cosa c’è dietro di esse , quali sono i mezzi che fanno in modo che una dimostrazione sia corretta e la logica si occupa in particolar modo di questo argomento. Ci sono stati poi tre periodi principali della storia della logica: l’antichità, l’era moderna e poi l’era contemporanea. La logica oggi è una delle grandi aree della matematica moderna.
Platone, Aristotele e Crisippo hanno fatto tanto per la logica. Platone e Aristotele sono i due più famosi filosofi dell’antichità, coloro che con le loro teorie influenzano ancora oggi la filosofia moderna. Crisippo è quello meno noto. Ciò che Platone ha apportato alla logica è quello che oggi viene chiamato il “principio di non contraddizione” che sta ad indicare che non si può dire una cosa e contemporaneamente affermare il suo contrario. Aristotele, invece, viene considerato il padre fondatore della logica moderna. Qual è stato il principale apporto di Aristotele alla logica? E’stato senza dubbio lo studio dei quantificatori, cioè lo studio di quelle leggi che regolano il funzionamento di particelle. Crisippo invece studiò ciò che oggi viene definita “la logica proposizionale” e quindi queste particelle linguistiche che vengono chiamate “connettivi”, sono quelle che vengono utilizzate per mettere insieme delle frasi semplici e per costruirne poi di più complicate.
Nell’epoca moderna abbiamo:Leibniz, Boole e Frege. Il sogno di Leibniz oggi si è concretizzato in quella che è diventata la lingua dei calcolatori elettronici. L’informatica è in realtà la versione di quello che Leibniz sognava si potesse fare di questa “caratteristica universale”, questo linguaggio perfetto e puramente formale. Verso la metà dell’800, finalmente la logica matematica inizia ad assumere una sua vita autonoma. Boole introdusse la cosiddetta algebra booleana che consiste nell’ usare lo zero e l’uno, cioè i primi due numeri interi, come se fossero lo stesso, dal punto di vista matematico, di ciò che nella logica, nel linguaggio, sono il vero e il falso. Fu certamente una notevole scoperta e fu davvero per certi versi il punto finale dell’evoluzione della logica. Subito dopo si arriva a Frege, colui che veramente iniziò la logica moderna e che oggi si chiama “logica predicativa” quindi “la logica dei predicati”, “la logica delle relazioni”, è quello che assolutamente serve in matematica, perché non si parla solo di cose tipo soggetto e predicato a cui si interessava Aristotele, ma si parla di relazioni in cui ci possono essere più soggetti, più complementi e di conseguenza una struttura molto più complessa. Boole e con la sua idea di quantificare i predicati, cioè di applicare alla vecchia logica formale di derivazione aristotelica le regole e i procedimenti dell’algebra.Il filosofo e matematico Russell, autore col suo maestro Whitehead della fondamentale opera “Principi matematici”, ritiene che la matematica si può ridurre ad un ramo della logica e quindi si inquadra naturalmente in una delle scuole di pensiero che hanno caratterizzato il XX secolo: il logicismo che è spesso ricondotto all’opera del matematico e filosofo inglese; il programma logicista può essere sintetizzato nel tentativo di ricondurre l’intera matematica alla logica, ma la presenza delle antinomie mise in difficoltà questo progetto: i tentativi di eludere la formazione delle antinomie portarono a teorie profonde.
La conseguenza è che ora è completamente impossibile tracciare tra le due discipline una linea di demarcazione; sostanzialmente le due sono in realtà una disciplina sola. Arriviamo finalmente all’era contemporanea, cioè al ‘900. E di quest’epoca sono Post e Wittgenstein, e Goedel e Turing. L’idea del computer venne precisamente al logico matematico Turing studiando i teoremi di Goedel e cercando di affrontare il problema della decibilità della logica predicativa, cioè se è possibile imtuire, data una formula della logica, se questa formula è vera o falsa,e di conseguenza se questa formula è deducibile oppure no dai teoremi.
Una delle ragioni per cui la logica matematica è interessante sta proprio nel fatto che non soltanto è una materia che serve, ma che si interseca da una parte con la filosofia, dall’altra con la matematica e dall’altra parte ancora con l’informatica.
Cristina Calvano
Passaparolanza 